গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ৯)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ৯: ত্রিভুজের দুটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সম্পর্ক

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৯১-৯৭ থেকে)

1. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (পৃষ্ঠা ৯১): একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ $ABC$ আঁকা হয়েছে, যেখানে $AB = AC$। হাতেকলমে কাগজ ভাঁজ করে দেখানো হয়েছে যে, $AB$ ও $AC$ বাহু সমান হলে তাদের বিপরীত কোণ $\angle ABC$ ও $\angle ACB$ পরস্পর সমান হয়।
2. উপপাদ্যের প্রমাণ (পৃষ্ঠা ৯২): S-A-S (বাহু-কোণ-বাহু) সর্বসমতার সূত্র প্রয়োগ করে জ্যামিতিকভাবে প্রমাণ করা হয়েছে যে, $\triangle ABC$-তে $AB = AC$ হলে $\angle ABC = \angle ACB$ হবে।
3. বিপরীত উপপাদ্য (পৃষ্ঠা ৯৩): A-A-S (কোণ-কোণ-বাহু) সর্বসমতার সূত্র প্রয়োগ করে প্রমাণ করা হয়েছে যে, $\triangle ABC$-তে $\angle ABC = \angle ACB$ হলে $AB = AC$ হবে।
4. সমবাহু ও সমকোণী ত্রিভুজ (পৃষ্ঠা ৯৪-৯৫): উপরের উপপাদ্যগুলি প্রয়োগ করে দেখানো হয়েছে যে, সমবাহু ত্রিভুজের (Equilateral Triangle) প্রতিটি কোণ $60^{\circ}$ এবং সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের (Right-angled Isosceles Triangle) সমকোণ বাদে অন্য কোণ দুটি $45^{\circ}$ হয়।
5. শীর্ষকোণের সমদ্বিখণ্ডক (পৃষ্ঠা ৯৫): প্রমাণ করা হয়েছে যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণের (সমান বাহু দুটির মধ্যবর্তী কোণ) সমদ্বিখণ্ডক ভূমিকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে (অর্থাৎ $90^{\circ}$ কোণ তৈরি করে এবং ভূমিকে সমান দু-ভাগে ভাগ করে)।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণ নির্ণয় (উপপাদ্য ১)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৯১-৯২ অনুযায়ী) একটি ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে, ওই সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণগুলির পরিমাপও সমান হয়।...

   প্রশ্ন: $\triangle PQR$-এ $PQ = PR$ এবং $\angle QPR = 70^{\circ}$ হলে, $\angle PQR$-এর মান কত?

   (a) $70^{\circ}$ (b) $55^{\circ}$ (c) $110^{\circ}$ (d) $40^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: b, কারণ $\angle PQR = \angle PRQ$ এবং $2 \times \angle PQR + 70^{\circ} = 180^{\circ}$)

2. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু নির্ণয় (উপপাদ্য ২)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৯৩ অনুযায়ী) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ সমান হলে, ওই সমান কোণ দুটির বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্যও সমান হয়।

   প্রশ্ন: $\triangle XYZ$-এ $\angle XYZ = 65^{\circ}$ এবং $\angle XZY = 65^{\circ}$ হলে, নীচের কোনটি সঠিক?

   (a) $XY = YZ$ (b) $XY = XZ$ (c) $YZ = XZ$ (d) কোনোটিই নয়

   (সঠিক উত্তর: b, কারণ $\angle XYZ$-এর বিপরীত বাহু $XZ$ এবং $\angle XZY$-এর বিপরীত বাহু $XY$)

3. সমবাহু ত্রিভুজের ধর্ম

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৯৪ অনুযায়ী) যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তার তিনটি কোণের পরিমাপও সমান হয়। প্রতিটি কোণের মান হয় $180^{\circ} \div 3 = 60^{\circ}$।

   প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের পরিমাপ কত?

   (a) $90^{\circ}$ (b) $30^{\circ}$ (c) $60^{\circ}$ (d) $45^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: c)

4. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ধর্ম

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৯৫ অনুযায়ী) একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ $90^{\circ}$ হয়। অন্য দুটি কোণ সমান হয়... প্রতিটি কোণের মান $90^{\circ} \div 2 = 45^{\circ}$।

   প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কোণের প্রত্যেকটির মান কত?

   (a) $90^{\circ}$ (b) $60^{\circ}$ (c) $30^{\circ}$ (d) $45^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: d)

5. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণের সমদ্বিখণ্ডক

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৯৫ অনুযায়ী) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষকোণের (সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ) সমদ্বিখণ্ডক ভূমিকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

   প্রশ্ন: $\triangle ABC$-তে $AB = AC$ এবং $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AD$ ভূমি $BC$-কে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। নীচের কোনটি সঠিক?

   (a) $BD = CD$ এবং $\angle ADB = 90^{\circ}$ (b) $BD = AB$ (c) $\angle ADB = 60^{\circ}$ (d) $AD = BC$

   (সঠিক উত্তর: a)

6. সর্বসমতার S-A-S সূত্র (পৃষ্ঠা ৯৬)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৯৬ অনুযায়ী) ... $AO = BO$, $CO = DO$, $\angle AOD = \angle BOC$ (বিপ্রতীপ কোণ)। সুতরাং, $\triangle AOD \cong \triangle BOC$ (S-A-S ...)

   প্রশ্ন: দুটি সরলরেখা $AB$ ও $CD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করে যে $AO = BO$ এবং $CO = DO$। $\triangle AOD$ ও $\triangle BOC$ সর্বসম হওয়ার কারণ কী?

   (a) S-S-S (বাহু-বাহু-বাহু) (b) A-S-A (কোণ-বাহু-কোণ) (c) S-A-S (বাহু-কোণ-বাহু) (d) R-H-S (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু)

   (সঠিক উত্তর: c)