গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ৮)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ৮: সমান্তরাল সরলরেখা ও ছেদকের ধর্ম

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৭৯-৯০ থেকে)

1. ছেদক ও কোণসমূহ (পৃষ্ঠা ৮০): একটি 'ছেদক' (Transversal) যখন দুটি সরলরেখাকে ছেদ করে, তখন আটটি কোণ উৎপন্ন হয়। এই কোণগুলির মধ্যে সম্পর্কগুলি (যেমন— অনুরূপ, একান্তর, অন্তঃস্থ) চিহ্নিত করা হয়েছে।
2. অনুরূপ কোণ (পৃষ্ঠা ৮১): দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে ছেদক ছেদ করলে প্রতিজোড়া 'অনুরূপ কোণ' (Corresponding Angles) সমান হয়। (স্বতঃসিদ্ধ ৩)
3. একান্তর কোণ (পৃষ্ঠা ৮২): দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে ছেদক ছেদ করলে প্রতিজোড়া 'একান্তর কোণ' (Alternate Interior Angles) সমান হয়।
4. একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ (পৃষ্ঠা ৮২): দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে ছেদক ছেদ করলে, ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদুটির (Consecutive Interior Angles) সমষ্টি $180^{\circ}$ (সম্পূরক) হয়।
5. সমান্তরালতার শর্ত (পৃষ্ঠা ৮৫-৮৭): উপরের ধর্মগুলির বিপরীতটিও সত্য। অর্থাৎ, দুটি সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে যদি একজোড়া অনুরূপ কোণ বা একজোড়া একান্তর কোণ সমান হয়, অথবা যদি ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদুটি সম্পূরক হয়, তবে সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হবে।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. কোণ শনাক্তকরণ (Angle Identification)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৮০ অনুযায়ী) কোণগুলির অবস্থান মনে রাখুন: অনুরূপ কোণ: ছেদকের একই পাশে থাকে (একটি অন্তঃস্থ, একটি বহিঃস্থ) এবং 'F' আকৃতি তৈরি করে। (যেমন $\angle 2$ ও $\angle 6$) একান্তর কোণ: ছেদকের বিপরীত পাশে থাকে (দুটিই অন্তঃস্থ) এবং 'Z' আকৃতি তৈরি করে। (যেমন $\angle 3$ ও $\angle 5$) একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ: ছেদকের একই পাশে থাকে (দুটিই অন্তঃস্থ) এবং 'C' বা 'U' আকৃতি তৈরি করে। (যেমন $\angle 4$ ও $\angle 5$)

   প্রশ্ন: পৃষ্ঠা ৮০-এর চিত্রে $\angle 3$ ও $\angle 5$ কোণদুটিকে কী বলা হয়?

   (a) অনুরূপ কোণ (b) একান্তর কোণ (c) বিপ্রতীপ কোণ (d) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ

   (সঠিক উত্তর: b)

2. সমান্তরাল রেখা ও অনুরূপ কোণ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৮১, স্বতঃসিদ্ধ ৩) দুটি সরলরেখা ($AB$ ও $CD$) সমান্তরাল হলে ($AB \parallel CD$) এবং একটি ছেদক ($EF$) তাদের ছেদ করলে, প্রতিজোড়া অনুরূপ কোণ সমান হয়।

   প্রশ্ন: পৃষ্ঠা ৮৯, প্রশ্ন ৩(a) অনুযায়ী, $AB \parallel CD$ এবং $\angle EGB = 55^{\circ}$ (ধরি)। $\angle EGB$-এর অনুরূপ কোণ হলো $\angle GHD$ (বইয়ের চিত্রে $y$)। তাহলে $\angle GHD$-এর মান কত?

   (a) $55^{\circ}$ (b) $125^{\circ}$ (c) $35^{\circ}$ (d) $180^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: a, কারণ অনুরূপ কোণগুলি সমান)

3. সমান্তরাল রেখা ও একান্তর কোণ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৮২ অনুযায়ী) যদি $AB \parallel CD$ হয়, তবে একান্তর কোণগুলি সমান হয়।

   প্রশ্ন: পৃষ্ঠা ৮৯, প্রশ্ন ৩(b) অনুযায়ী, $AB \parallel CD$ এবং $\angle CFH = 68^{\circ}$ (ধরি, বইয়ের চিত্রে $68^{\circ}$)। $\angle CFH$-এর একান্তর কোণ হলো $\angle BGF$ (বইয়ের চিত্রে $x$)। তাহলে $x$-এর মান কত?

   (a) $112^{\circ}$ (b) $68^{\circ}$ (c) $22^{\circ}$ (d) $90^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: b, কারণ একান্তর কোণগুলি সমান)

4. সমান্তরাল রেখা ও একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৮২ অনুযায়ী) যদি $AB \parallel CD$ হয়, তবে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলির সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়।

   প্রশ্ন: পৃষ্ঠা ৮৯, প্রশ্ন ৩(c) অনুযায়ী, $AB \parallel CD$ এবং $\angle BGF = 100^{\circ}$। $\angle BGF$ ও $\angle GHC$ (বইয়ের চিত্রে $x$) হলো ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ। $x$-এর মান কত?

   (a) $100^{\circ}$ (b) $90^{\circ}$ (c) $80^{\circ}$ (d) $180^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: c, কারণ $\angle BGF + \angle GHC = 180^{\circ}$, তাই $100^{\circ} + x = 180^{\circ}$, $x = 80^{\circ}$)

5. সমান্তরালতার শর্ত (একান্তর কোণ)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৮৫ ও ৮৭ অনুযায়ী) যদি দুটি সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করলে একজোড়া একান্তর কোণ সমান হয়, তবে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হয়।

   প্রশ্ন: পৃষ্ঠা ৮৯, প্রশ্ন ৫(ii) অনুযায়ী, দুটি একান্তর কোণের মান $120^{\circ}$ ও $60^{\circ}$। সরলরেখা দুটি ($AB$ ও $CD$) কি সমান্তরাল?

   (a) হ্যাঁ, কারণ কোণগুলি অন্তঃস্থ। (b) না, কারণ একান্তর কোণগুলি সমান নয় ($120^{\circ} \neq 60^{\circ}$)। (c) হ্যাঁ, কারণ তাদের সমষ্টি $180^{\circ}$। (d) বলা সম্ভব নয়।

   (সঠিক উত্তর: b)

6. সমান্তরালতার শর্ত (একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৮৭ অনুযায়ী) যদি ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলির সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়, তবে সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হয়।

   প্রশ্ন: একটি ছেদক দুটি সরলরেখাকে ছেদ করায় ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুটির মান $110^{\circ}$ ও $70^{\circ}$ পাওয়া গেল। সরলরেখা দুটি কি সমান্তরাল?

   (a) হ্যাঁ, কারণ $110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$। (b) না, কারণ কোণ দুটি সমান নয়। (c) না, কারণ $110^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ}$। (d) হ্যাঁ, কারণ কোণ দুটি সূক্ষ্মকোণ ও স্থূলকোণ।

   (সঠিক উত্তর: a)

7. কোণ নির্ণয়ের প্রয়োগ (Angle Chase)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৮৯, প্রশ্ন ৪) $XY \parallel PQ$ দেওয়া আছে। যে কোণটির মান $50^{\circ}$ দেওয়া আছে, সেটি $\angle 3$-এর বিপ্রতীপ কোণ। $\angle 3 = 50^{\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)। $\angle 5$ হলো $\angle 3$-এর একান্তর কোণ। যেহেতু $XY \parallel PQ$, তাই $\angle 5 = \angle 3$। অতএব, $\angle 5 = 50^{\circ}$।

   প্রশ্ন: পৃষ্ঠা ৮৯, প্রশ্ন ৪ অনুযায়ী, $XY \parallel PQ$ এবং $\angle 3$-এর বিপ্রতীপ কোণের মান $50^{\circ}$ হলে, $\angle 5$-এর মান কত?

   (a) $50^{\circ}$ (b) $130^{\circ}$ (c) $40^{\circ}$ (d) $90^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: a)