গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ৭)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ৭: বিপ্রতীপ কোণের ধারণা (Concept of Vertically Opposite Angles)

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৭২-৭৮ থেকে)

1. বিপ্রতীপ কোণ পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৭২): দুটি ফিতে বা সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুর বিপরীত দিকে যে কোণগুলি ($\angle 1$ ও $\angle 3$ এবং $\angle 2$ ও $\angle 4$) তৈরি হয়, তাদের 'বিপ্রতীপ কোণ' বলে।
2. বাস্তব উদাহরণ (পৃষ্ঠা ৭৩): খোলা কাঁচি, বা আড়াআড়িভাবে রাখা দুটি রুলার বা পেনসিল বিপ্রতীপ কোণের বাস্তব উদাহরণ।
3. ট্রেসিং পেপার পরীক্ষা (পৃষ্ঠা ৭৩): ট্রেসিং পেপারে কোণ এঁকে $180^{\circ}$ ঘুরিয়ে হাতেকলমে প্রমাণ করা হয়েছে যে, বিপ্রতীপ কোণগুলি একে অপরের সাথে সম্পূর্ণভাবে মিশে যায়, অর্থাৎ তারা সমান।
4. উপপাদ্যের প্রমাণ চিত্র (পৃষ্ঠা ৭৫): $AB$ ও $CD$ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। রৈখিক যুগ্ম কোণের (Linear Pair) ধারণা ব্যবহার করে প্রমাণ করা হয়েছে যে, বিপ্রতীপ কোণগুলি ($\angle AOD$ ও $\angle BOC$ এবং $\angle AOC$ ও $\angle BOD$) পরস্পর সমান।
5. কোণ নির্ণয়ের প্রয়োগ (পৃষ্ঠা ৭৬): ছেদকারী সরলরেখাগুলির মধ্যে কয়েকটি কোণের মান দেওয়া থাকলে, বিপ্রতীপ কোণ এবং রৈখিক যুগ্ম কোণের ধর্ম ব্যবহার করে অজানা কোণগুলির ($x, y, z$) মান নির্ণয় করা দেখানো হয়েছে।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭২ অনুযায়ী) দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদবিন্দুর বিপরীত পাশে যে দু-জোড়া কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের 'বিপ্রতীপ কোণ' বলে।

   প্রশ্ন: চিত্রে (পৃষ্ঠা ৭২), $\angle 1$-এর বিপ্রতীপ কোণ কোনটি?

   (a) $\angle 2$ (b) $\angle 3$ (c) $\angle 4$ (d) কোনোটিই নয়

   (সঠিক উত্তর: b)

2. বিপ্রতীপ কোণের ধর্ম (উপপাদ্য)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭৩ ও ৭৫ অনুযায়ী) উপপাদ্যটি হলো: দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে যে দু-জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের প্রতিজোড়া কোণের পরিমাপ পরস্পর সমান হয়।

   প্রশ্ন: দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর কী হয়?

   (a) পরস্পর পূরক (Complementary) (b) পরস্পর সম্পূরক (Supplementary) (c) পরস্পর সমান (Equal) (d) পরস্পর অসমান (Unequal)

   (সঠিক উত্তর: c)

3. রৈখিক যুগ্ম কোণ (স্বতঃসিদ্ধ ১)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭৪-৭৫ অনুযায়ী) একটি সরলরেখার উপর একটি রশ্মি দাঁড়ালে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় (রৈখিক যুগ্ম কোণ), তাদের পরিমাপের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^{\circ}$ হয়। বিপ্রতীপ কোণের উপপাদ্যটি এই স্বতঃসিদ্ধের সাহায্যেই প্রমাণ করা হয়।

   প্রশ্ন: $AB$ একটি সরলরেখা এবং $OC$ একটি রশ্মি $O$ বিন্দুতে দণ্ডায়মান হলে, $\angle AOC + \angle BOC$-এর মান কত?

   (a) $90^{\circ}$ (b) $180^{\circ}$ (c) $360^{\circ}$ (d) $0^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: b)

4. বিপ্রতীপ কোণ প্রমাণের যুক্তি

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭৫ অনুযায়ী) উপপাদ্যটি প্রমাণ করা হয় রৈখিক যুগ্ম কোণের (Linear Pair) ধারণা দিয়ে। $\angle AOD + \angle AOC = 180^{\circ}$ (রৈখিক যুগ্ম); $\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$ (রৈখিক যুগ্ম)। সুতরাং, $\angle AOD + \angle AOC = \angle AOC + \angle BOC$। অতএব, $\angle AOD = \angle BOC$ (উভয় পক্ষ থেকে $\angle AOC$ বিয়োগ করে)

   প্রশ্ন: বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর সমান—এই উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে কোন জ্যামিতিক ধারণাটি (স্বতঃসিদ্ধ) ব্যবহার করা হয়?

   (a) পূরক কোণের ধারণা (b) রৈখিক যুগ্ম কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ (c) ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ (d) সমান্তরাল সরলরেখার ধারণা

   (সঠিক উত্তর: b)

5. বিপ্রতীপ কোণের মান নির্ণয়

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭৭, প্রশ্ন ৬) $AB$ ও $CD$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি $\angle AOC = 120^{\circ}$ হয়, তবে তার বিপ্রতীপ কোণ $\angle BOD$-এর মানও $120^{\circ}$ হবে, কারণ বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।

   প্রশ্ন: $AB$ ও $CD$ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি $\angle AOC = 120^{\circ}$ হয়, তবে $\angle BOD$-এর মান কত?

   (a) $60^{\circ}$ (b) $120^{\circ}$ (c) $180^{\circ}$ (d) $30^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: b)

6. রৈখিক যুগ্ম কোণের মান নির্ণয়

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭৭, প্রশ্ন ৬) $AB$ একটি সরলরেখা এবং $OC$ রশ্মি $O$ বিন্দুতে দণ্ডায়মান। $\angle AOC$ ও $\angle BOC$ হলো রৈখিক যুগ্ম কোণ। $\angle AOC + \angle BOC = 180^{\circ}$। দেওয়া আছে $\angle AOC = 120^{\circ}$। $120^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ}$। $\angle BOC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$

   প্রশ্ন: $AB$ ও $CD$ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি $\angle AOC = 120^{\circ}$ হয়, তবে $\angle BOC$-এর মান কত?

   (a) $120^{\circ}$ (b) $30^{\circ}$ (c) $60^{\circ}$ (d) $90^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: c)

7. বিপ্রতীপ কোণের সমষ্টি থেকে মান নির্ণয়

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭৮, প্রশ্ন ৭) $\angle POR$ ও $\angle QOS$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আমরা জানি বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর সমান হয়। দেওয়া আছে: $\angle POR + \angle QOS = 110^{\circ}$। যেহেতু $\angle POR = \angle QOS$, তাই আমরা লিখতে পারি: $\angle POR + \angle POR = 110^{\circ}$; $2 \times \angle POR = 110^{\circ}$; $\angle POR = 110^{\circ} \div 2 = 55^{\circ}$

   প্রশ্ন: $PQ$ ও $RS$ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি $\angle POR + \angle QOS = 110^{\circ}$ হয়, তবে $\angle POR$-এর মান কত?

   (a) $110^{\circ}$ (b) $70^{\circ}$ (c) $55^{\circ}$ (d) $220^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: c)