গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ৬)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ৬: পূরক কোণ, সম্পূরক কোণ ও সন্নিহিত কোণ

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৬৫-৭১ থেকে)

1. পূরক কোণ (পৃষ্ঠা ৬৫): কাঠের কাঠি দিয়ে দুটি কোণ ($\angle A=32^{\circ}$ ও $\angle E=58^{\circ}$) তৈরি করে দেখানো হয়েছে যে, দুটি কোণের সমষ্টি $90^{\circ}$ হলে তাদের 'পূরক কোণ' বলে।
2. সম্পূরক কোণ (পৃষ্ঠা ৬৬): দুটি কোণ ($\angle F=108^{\circ}$ ও $\angle K=72^{\circ}$) যোগ করে $180^{\circ}$ পাওয়ার মাধ্যমে 'সম্পূরক কোণ'-এর ধারণা দেওয়া হয়েছে।
3. সন্নিহিত কোণ (পৃষ্ঠা ৬৭): তিনটি রঙিন পিচবোর্ড দিয়ে কোণ তৈরি করে দেখানো হয়েছে, কীভাবে একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু (Common Vertex) ও একটি সাধারণ বাহুর (Common Arm) দুপাশে 'সন্নিহিত কোণ' ($\angle XOY$ ও $\angle YOZ$) তৈরি হয়।
4. রৈখিক যুগ্ম কোণ (পৃষ্ঠা ৬৮): একটি সরলরেখার উপর একটি রশ্মি দাঁড়ালে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় (যাদের 'রৈখিক যুগ্ম কোণ' বা Linear Pair বলে), তাদের সমষ্টি যে $180^{\circ}$ হয়, তা দেখানো হয়েছে।
5. সরলরেখা গঠন (পৃষ্ঠা ৬৯): দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ হলে, তাদের বহিঃস্থ বাহু দুটি (Common বাহুটি বাদে) যে একই সরলরেখায় থাকে, সেই ধারণাটি চিত্রসহ ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. পূরক কোণ (Complementary Angle)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬৫ অনুযায়ী) যখন দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি $90^{\circ}$ (বা এক সমকোণ) হয়, তখন একটি কোণকে অপরটির 'পূরক কোণ' বলা হয়। একটি কোণ $x^{\circ}$ হলে, তার পূরক কোণ হয় ($90^{\circ} - x^{\circ}$)।

   প্রশ্ন: $38^{\circ}$-এর পূরক কোণের মান কত?

   (a) $142^{\circ}$ (b) $52^{\circ}$ (c) $90^{\circ}$ (d) $62^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: b, কারণ $90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ}$)

2. সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬৬ অনুযায়ী) যখন দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি $180^{\circ}$ (বা দুই সমকোণ) হয়, তখন একটি কোণকে অপরটির 'সম্পূরক কোণ' বলা হয়। একটি কোণ $x^{\circ}$ হলে, তার সম্পূরক কোণ হয় ($180^{\circ} - x^{\circ}$)।

   প্রশ্ন: $118^{\circ}$-এর সম্পূরক কোণের মান কত?

   (a) $62^{\circ}$ (b) $28^{\circ}$ (c) $90^{\circ}$ (d) $180^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: a, কারণ $180^{\circ} - 118^{\circ} = 62^{\circ}$)

3. সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬৭ অনুযায়ী) দুটি কোণকে 'সন্নিহিত কোণ' বলা হয় যদি তাদের একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু (Common Vertex) থাকে, একটি সাধারণ বাহু (Common Arm) থাকে, এবং সাধারণ বাহুটি বাদে অন্য বাহু দুটি ওই সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থিত হয়।

   প্রশ্ন: সন্নিহিত কোণ হওয়ার জন্য নীচের কোন শর্তটি আবশ্যক?

   (a) কোণ দুটির সমষ্টি $90^{\circ}$ হতে হবে। (b) কোণ দুটির সমষ্টি $180^{\circ}$ হতে হবে। (c) কোণ দুটির একটি সাধারণ শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ বাহু থাকতে হবে। (d) কোণ দুটি পরস্পর সমান হতে হবে।

   (সঠিক উত্তর: c)

4. রৈখিক যুগ্ম কোণ (Linear Pair)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬৮ অনুযায়ী) একটি সরলরেখার উপর অন্য একটি রশ্মি দাঁড়ালে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয়, তাদের সমষ্টি সর্বদা $180^{\circ}$ বা দুই সমকোণ হয়। এই কোণ দুটিকে 'রৈখিক যুগ্ম কোণ' (Linear Pair) বলে।

   প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর একটি রশ্মি দণ্ডায়মান হলে উৎপন্ন সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি কত?

   (a) $90^{\circ}$ (b) $360^{\circ}$ (c) $100^{\circ}$ (d) $180^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: d)

5. সন্নিহিত কোণ ও সরলরেখা

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬৯ অনুযায়ী) যদি দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়, তবে তাদের বহিঃস্থ বাহু দুটি (যেগুলি সাধারণ বাহু নয়) একই সরলরেখায় থাকে।

   প্রশ্ন: দুটি সন্নিহিত কোণের মান $113^{\circ}$ ও $67^{\circ}$। কোণ দুটির বহিঃস্থ বাহু দুটি কীভাবে থাকবে?

   (a) একই সরলরেখায় থাকবে (কারণ $113^{\circ} + 67^{\circ} = 180^{\circ}$) (b) পরস্পর লম্বভাবে থাকবে। (c) একটি সূক্ষ্মকোণ তৈরি করবে। (d) বলা সম্ভব নয়।

   (সঠিক উত্তর: a)

6. রৈখিক যুগ্ম কোণ থেকে মান নির্ণয়

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৭১, প্রশ্ন ১০) $\angle AOP$ ও $\angle BOP$ একটি রৈখিক যুগ্ম কোণ (Linear Pair) গঠন করেছে (কারণ $AOB$ একটি সরলরেখা)। সুতরাং, $\angle AOP + \angle BOP = 180^{\circ}$। দেওয়া আছে: $\angle AOP = \angle BOP + 140^{\circ}$। $\angle AOP$-এর মানটি প্রথম সমীকরণে বসালে পাই: $(\angle BOP + 140^{\circ}) + \angle BOP = 180^{\circ}$; $2 \times \angle BOP + 140^{\circ} = 180^{\circ}$; $2 \times \angle BOP = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$; $\angle BOP = 40^{\circ} \div 2 = 20^{\circ}$

   প্রশ্ন: $\angle AOP$ ও $\angle BOP$ সন্নিহিত কোণ এবং $AOB$ একটি সরলরেখা। যদি $\angle AOP = \angle BOP + 140^{\circ}$ হয়, তবে $\angle BOP$-এর মান কত?

   (a) $140^{\circ}$ (b) $160^{\circ}$ (c) $40^{\circ}$ (d) $20^{\circ}$

   (সঠিক উত্তর: d)