গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ৫)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ৫: ঘনফল নির্ণয় (Finding the Cube/Volume)

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৫০-৬৪ থেকে)

1. ঘনক ও পূর্ণঘনসংখ্যা (পৃষ্ঠা ৫০): ছোট ছোট ১ সেমি বাহুবিশিষ্ট ঘনক দিয়ে বড় ঘনক তৈরির মাধ্যমে 'পূর্ণঘনসংখ্যা' (Perfect Cube Number) বোঝানো হয়েছে। যেমন, ২ সেমি বাহুর ঘনক তৈরি করতে $2^3 = 8$ টি এবং ৩ সেমি বাহুর ঘনক তৈরি করতে $3^3 = 27$ টি ছোট ঘনক লাগে।
2. হার্ডি-রামানুজন সংখ্যা (পৃষ্ঠা ৫২): গণিতজ্ঞ রামানুজনের বিখ্যাত ট্যাক্সি নম্বর '1729'-এর গল্প বলা হয়েছে। এটি হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা দুটি ভিন্ন উপায়ে দুটি ঘনের (Cubes) সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা যায়: $1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3$।
3. ঘনমূল (পৃষ্ঠা ৫২): মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণের (Prime Factorization) মাধ্যমে কীভাবে $\sqrt[3]{8} = 2$ বা $\sqrt[3]{64} = 4$ নির্ণয় করতে হয়, তা দেখানো হয়েছে।
4. ঘনফলের অভেদ (পৃষ্ঠা ৫৪, ৫৬): একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য $(a+b)$ বা $(a-b)$ হলে, তার আয়তন $(a+b)^3$ বা $(a-b)^3$ হয়। এই সূত্রগুলির জ্যামিতিক ধারণার পাশাপাশি বীজগাণিতিক বিস্তার (Expansion) দেখানো হয়েছে।
5. অভেদের প্রয়োগ (পৃষ্ঠা ৫৭-৫৮): $(a+b)^3$ এবং $(a-b)^3$ সূত্রগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার (যেমন $pq$-এর মান নির্ণয়) সমাধান করা হয়েছে।
6. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (পৃষ্ঠা ৬০, ৬১): $a^3 + b^3$ এবং $a^3 - b^3$-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণের সূত্রগুলি (Factorization Formulas) এবং তাদের প্রয়োগ দেখানো হয়েছে।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. পূর্ণঘনসংখ্যা (Perfect Cube Number) চেনা

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৫০ অনুযায়ী) একটি 'পূর্ণঘনসংখ্যা' হলো এমন একটি সংখ্যা যা কোনো একটি পূর্ণসংখ্যাকে তিনবার গুণ করে পাওয়া যায় (যেমন, $n \times n \times n = n^3$)। $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$; $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$

   প্রশ্ন: নীচের সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি একটি পূর্ণঘনসংখ্যা?

   (a) $12$ (b) $27$ (c) $32$ (d) $100$

   (সঠিক উত্তর: b)

2. পূর্ণঘনসংখ্যা তৈরি (গুণ করে)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৫১ অনুযায়ী) কোনো সংখ্যাকে পূর্ণঘন করতে হলে, প্রথমে তার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$। পূর্ণঘন হতে গেলে, উৎপাদকগুলিকে তিনটি করে দলে (group of three) থাকতে হবে। এখানে $(2 \times 2 \times 2)$ একটি দল আছে, কিন্তু $(2 \times 2)$ দ্বিতীয় দলে রয়েছে, যেখানে একটি $2$-এর অভাব রয়েছে। সুতরাং, $32$-কে $2$ দিয়ে গুণ করলে $64$ ($4^3$) হয়, যা একটি পূর্ণঘনসংখ্যা।

   প্রশ্ন: $32$-কে ক্ষুদ্রতম কোন ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণঘন সংখ্যা হবে?

   (a) $2$ (b) $3$ (c) $4$ (d) $8$

   (সঠিক উত্তর: a)

3. পূর্ণঘনসংখ্যা তৈরি (ভাগ করে)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৫১ অনুযায়ী) $54$-এর মৌলিক উৎপাদকগুলি হলো $54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3$। এখানে $(3 \times 3 \times 3)$ একটি পূর্ণঘন দল গঠন করে। অতিরিক্ত উৎপাদকটি হলো $2$। সংখ্যাটিকে $2$ দিয়ে ভাগ করলে $27$ ($3^3$) পাওয়া যায়, যা পূর্ণঘন।

   প্রশ্ন: $54$-কে ক্ষুদ্রতম কোন ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল একটি পূর্ণঘন সংখ্যা হবে?

   (a) $3$ (b) $6$ (c) $2$ (d) $27$

   (সঠিক উত্তর: c)

4. ঘনমূল (Cube Root) নির্ণয়

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৫২ অনুযায়ী) কোনো সংখ্যার 'ঘনমূল' ($\sqrt[3]{n}$) হলো সেই সংখ্যা, যাকে তিনবার গুণ করলে $n$ পাওয়া যায়। $\sqrt[3]{125}$ নির্ণয় করতে, $125$-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: $125 = 5 \times 5 \times 5$। তিনটি $5$-এর দল থেকে একটি $5$ নিলে, ঘনমূল হয় $5$।

   প্রশ্ন: $125$-এর ঘনমূল কত?

   (a) $5$ (b) $15$ (c) $3$ (d) $25$

   (সঠিক উত্তর: a)

5. $(a+b)^3$-এর অভেদ (Expansion Formula)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৫৪ অনুযায়ী) $(a+b)^3$-এর বিস্তারের সূত্রটি (অভেদ I) হলো: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

   প্রশ্ন: $(a+b)^3$-এর সঠিক বীজগাণিতিক বিস্তার কোনটি?

   (a) $a^3 + b^3$ (b) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ (c) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ (d) $a^3 + b^3 + 3ab$

   (সঠিক উত্তর: b)

6. $(a-b)^3$-এর অভেদ (Expansion Formula)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৫৬ অনুযায়ী) $(a-b)^3$-এর বিস্তারের সূত্রটি (অভেদ III) হলো: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

   প্রশ্ন: $(a-b)^3$-এর সঠিক বীজগাণিতিক বিস্তার কোনটি?

   (a) $a^3 - b^3$ (b) $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ (c) $a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$ (d) $(a-b)(a^2 - ab + b^2)$

   (সঠিক উত্তর: b)

7. অভেদের প্রয়োগ (মান নির্ণয়)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৫৬ অনুযায়ী) $(99)^3$-এর মান সহজেই নির্ণয় করা যায় যদি আমরা $99$-কে $(100 - 1)$ হিসাবে লিখি এবং $(a-b)^3$-এর সূত্র ($a=100, b=1$) প্রয়োগ করি।

   প্রশ্ন: $(99)^3$-এর মান নির্ণয়ের জন্য নীচের কোনটিকে $(a-b)^3$ রূপে প্রকাশ করা সবচেয়ে সুবিধাজনক?

   (a) $(90 + 9)^3$ (b) $(100 - 1)^3$ (c) $(98 + 1)^3$ (d) $(99 - 0)^3$

   (সঠিক উত্তর: b)

8. $a^3 + b^3$-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬০ অনুযায়ী) $a^3 + b^3$-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণের সূত্রটি (অভেদ V) হলো: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

   প্রশ্ন: $a^3 + b^3$-এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

   (a) $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ (b) $(a+b)(a^2 + ab + b^2)$ (c) $(a-b)(a^2 - ab + b^2)$ (d) $(a+b)^3 - 3ab$

   (সঠিক উত্তর: a)

9. $a^3 - b^3$-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬১ অনুযায়ী) $a^3 - b^3$-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণের সূত্রটি (অভেদ VI) হলো: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

   প্রশ্ন: $a^3 - b^3$-এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

   (a) $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ (b) $(a-b)(a^2 - ab + b^2)$ (c) $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$ (d) $(a-b)^3 + 3ab$

   (সঠিক উত্তর: c)

10. উৎপাদকে বিশ্লেষণের প্রয়োগ ($a^3 - b^3$)

    কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৬১ অনুযায়ী) $27a^3 - 64$ -কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে, প্রথমে পদগুলিকে ঘন (cube) হিসাবে লিখতে হবে: $27a^3 = (3a)^3$ এবং $64 = (4)^3$। এটি এখন $a^3 - b^3$ সূত্রের আকারে আছে, যেখানে $a=3a$ এবং $b=4$। সূত্র: $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = (3a - 4)((3a)^2 + (3a)(4) + (4)^2) = (3a - 4)(9a^2 + 12a + 16)$

    প্রশ্ন: $27a^3 - 64$-এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

    (a) $(3a - 4)(9a^2 - 12a + 16)$ (b) $(3a + 4)(9a^2 - 12a + 16)$ (c) $(3a - 4)(9a^2 + 12a + 16)$ (d) $(27a - 64)(a^2 + 1)$

    (সঠিক উত্তর: c)