গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ২০ ও ২১)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ২০ ও ২১: জ্যামিতিক প্রমাণ এবং ত্রিভুজ অঙ্কন

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ১৯৩-২০৭ থেকে)

1. স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য (পৃষ্ঠা ১৯৪-১৯৫): জ্যামিতিক প্রমাণের ভিত্তি হিসাবে স্বতঃসিদ্ধ (Axioms) এবং স্বীকার্য (Postulates)-এর ধারণা দেওয়া হয়েছে।
2. রৈখিক যুগ্ম (Linear Pair) (পৃষ্ঠা ১৯৬, উপপাদ্য ১): একটি সরলরেখার উপর অন্য একটি রশ্মি দাঁড়ালে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয়, তাদের সমষ্টি $180^\circ$ বা দুই সমকোণ।
3. বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles) (পৃষ্ঠা ১৯৮, উপপাদ্য ৩): দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে যে বিপ্রতীপ কোণগুলি উৎপন্ন হয়, তারা পরস্পর সমান।
4. SSS ত্রিভুজ অঙ্কন (পৃষ্ঠা ২০৫, সম্পাদ্য ১): কেবল রুলার ও কম্পাসের সাহায্যে তিনটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের বাহু ($a, b, c$) দিয়ে ত্রিভুজ অঙ্কন, যেখানে ($a+b > c$)।
5. SAS ত্রিভুজ অঙ্কন (পৃষ্ঠা ২০৬, সম্পাদ্য ২): দুটি নির্দিষ্ট বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণের ($SAS$) সাহায্যে ত্রিভুজ অঙ্কন।
6. ASA ত্রিভুজ অঙ্কন (পৃষ্ঠা ২০৭, সম্পাদ্য ৩): দুটি নির্দিষ্ট কোণ এবং তাদের সংলগ্ন বাহুর ($ASA$) সাহায্যে ত্রিভুজ অঙ্কন।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. রৈখিক যুগ্ম (Linear Pair) (উপপাদ্য ১)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১৯৬ অনুযায়ী) ... কোণ দুটির যোগফল সর্বদা $180^\circ$ হয়।

   উদাহরণ: ... সন্নিহিত কোণ $= 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$।

   প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর একটি রশ্মি দণ্ডায়মান হওয়ায়... একটির মান $75^\circ$ হলে, অপর কোণটির মান কত?

   (a) $15^\circ$ (b) $75^\circ$ (c) $105^\circ$ (d) $285^\circ$

   (সঠিক উত্তর: c)

2. সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০° (উপপাদ্য ২)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১৯৭ অনুযায়ী) ... যদি দুটি সন্নিহিত কোণের যোগফল $180^\circ$ হয়, তবে তাদের বহিঃস্থ বাহু দুটি ... একই সরলরেখায় থাকবে।

   উদাহরণ: $\angle A = 80^\circ$ এবং $\angle B = 100^\circ$। $\angle A + \angle B = 180^\circ$ হওয়ায়... সরলরেখা গঠন করে।

   প্রশ্ন: দুটি সন্নিহিত কোণের মান $95^\circ$ এবং $85^\circ$। কোণ দুটির বহিঃস্থ বাহু দুটি—

   (a) পরস্পর লম্ব হবে (b) একই সরলরেখায় থাকবে (c) একটি সূক্ষ্মকোণ তৈরি করবে (d) কোনোটিই নয়

   (সঠিক উত্তর: b) (কারণ $95^\circ + 85^\circ = 180^\circ$)

3. বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles) (উপপাদ্য ৩)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১৯৮ অনুযায়ী) ... বিপ্রতীপ কোণগুলি সমান হয়।

   উদাহরণ: একটি $45^\circ$ হলে, অন্যটিও $45^\circ$ হবে।

   প্রশ্ন: $\angle AOD = 110^\circ$ হলে, তার বিপ্রতীপ কোণ $\angle BOC$-এর মান কত?

   (a) $70^\circ$ (b) $110^\circ$ (c) $90^\circ$ (d) $250^\circ$

   (সঠিক উত্তর: b)

4. ত্রিভুজ অঙ্কনের শর্ত (SSS Construction)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ২০৫ অনুযায়ী) ... ক্ষুদ্রতর বাহু দুটির যোগফল তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বেশি হয়।

   উদাহরণ: ... $3$ সেমি, $4$ সেমি ও $5$ সেমি (সম্ভব, $3+4 > 5$)। $2$ সেমি, $3$ সেমি ও $6$ সেমি (অসম্ভব, $2+3 < 6$)।

   প্রশ্ন: নীচের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব?

   (a) $4, 5, 9$ (b) $5, 6, 12$ (c) $6, 7, 8$ (d) $2, 8, 11$

   (সঠিক উত্তর: c) (কারণ $6+7 > 8$)

5. ত্রিভুজ অঙ্কনের স্বীকার্য (SAS, ASA)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ২০৬-২০৭ অনুযায়ী) SAS: দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ। ASA: দুটি কোণ ও তাদের সংলগ্ন বাহু।

   প্রশ্ন: $AB = 5$ সেমি, $BC = 6$ সেমি দেওয়া আছে। $SAS$ শর্ত অনুযায়ী আর কোন তথ্যটি প্রয়োজন?

   (a) $\angle BAC$ (b) $\angle ABC$ (c) $\angle BCA$ (d) $AC$ বাহুর দৈর্ঘ্য

   (সঠিক উত্তর: b) (কারণ $AB$ ও $BC$-এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle B$)