গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ১৩)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ১৩: বীজগাণিতিক সংখ্যামালার উৎপাদকে বিশ্লেষণ (মধ্যসহগ বিশ্লেষণ ও ঘন-এর সূত্র)

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ১২০-১৩১ থেকে)

1. মধ্যসহগ বিশ্লেষণ (পৃষ্ঠা ১২২): $x^2 + 5x + 6$ -এর মতো রাশিকে $x^2 + (2+3)x + 6$-এ ভেঙে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার পদ্ধতি দেখানো হয়েছে।
2. পূর্ণঘন রাশির সূত্র (পৃষ্ঠা ১২৬): $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$ সূত্রটির ধারণা এবং তার প্রয়োগ, যেমন $8x^3 + 36x^2y + ... = (2x+3y)^3$ নির্ণয়।
3. $a^3 + b^3$-এর সূত্র (পৃষ্ঠা ১২৮): $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ সূত্রটি ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণের পদ্ধতি।
4. $a^3 - b^3$-এর সূত্র (পৃষ্ঠা ১২৮): $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ সূত্রটি ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণের পদ্ধতি।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. মধ্যসহগ বিশ্লেষণ (Middle-Term Splitting) - ধরন ১ ($x^2 + px + q$)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১২২ অনুযায়ী) ... $q$-কে এমন দুটি সংখ্যা $a$ ও $b$-তে ভাঙতে হবে যাদের যোগফল $p$ হয় ($a+b=p$) এবং গুণফল $q$ হয় ($a \times b = q$)।

   উদাহরণ: $x^2 + 5x + 6 = x^2 + (2+3)x + 6 = (x+2)(x+3)$।

   প্রশ্ন: $x^2 + 5x + 6$-এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

   (a) $(x+1)(x+6)$ (b) $(x-2)(x-3)$ (c) $(x+2)(x+3)$ (d) $(x-1)(x-6)$

   (সঠিক উত্তর: c)

2. মধ্যসহগ বিশ্লেষণ (Middle-Term Splitting) - ধরন ২ ($ax^2 + px + q$)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১২৪ অনুযায়ী) ... $a \times q$ -এর মানকে এমন দুটি সংখ্যা $m$ ও $n$-এ ভাঙতে হবে যাদের যোগফল $p$ হয় ($m+n=p$)।

   উদাহরণ: $2x^2 + 7x + 6$ ... ($a \times q = 12$) ... $3+4=7$ ... $x(2x+3) + 2(2x+3) = (2x+3)(x+2)$।

   প্রশ্ন: $2x^2 + 7x + 6$-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

   (a) $(2x+3)(x+2)$ (b) $(2x+1)(x+6)$ (c) $(2x+2)(x+3)$ (d) $(x+1)(2x+6)$

   (সঠিক উত্তর: a)

3. পূর্ণঘন রূপে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ($a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১২৬-১২৭ অনুযায়ী) রাশিটিকে $(a+b)^3$ বা $(a-b)^3$-এর সূত্রের আকারে সাজাতে হবে।

   উদাহরণ: $8a^3 + 36a^2 + 54a + 27 = (2a)^3 + 3(2a)^2(3) + 3(2a)(3)^2 + (3)^3 = (2a+3)^3$।

   প্রশ্ন: $8a^3 + 36a^2 + 54a + 27$-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

   (a) $(2a-3)^3$ (b) $(2a+3)^3$ (c) $(8a+3)^3$ (d) $(2a+27)^3$

   (সঠিক উত্তর: b)

4. $a^3 + b^3$ সূত্রের প্রয়োগ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১২৮ অনুযায়ী) $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।

   উদাহরণ: $27x^3 + 64y^3 = (3x)^3 + (4y)^3 = (3x+4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$।

   প্রশ্ন: $27x^3 + 64y^3$-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

   (a) $(3x+4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$ (b) $(3x+4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$ (c) $(3x-4y)(9x^2 + 12xy + 16y^2)$ (d) $(27x+64y)(x^2-y^2)$

   (সঠিক উত্তর: a)

5. $a^3 - b^3$ সূত্রের প্রয়োগ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ১২৮-১২৯ অনুযায়ী) $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।

   উদাহরণ: $m^3 - 125 = (m)^3 - (5)^3 = (m-5)(m^2 + 5m + 25)$।

   প্রশ্ন: $m^3 - 125$-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

   (a) $(m-5)(m^2 - 5m + 25)$ (b) $(m-5)(m^2 + 5m + 25)$ (c) $(m+5)(m^2 - 5m + 25)$ (d) $(m-125)(m^2 + 1)$

   (সঠিক উত্তর: b)