গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ৪)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ৪: বহুপদী সংখ্যামালার গুণ ও ভাগ (Multiplication and Division of Polynomials)

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৪২-৪৯ থেকে)

1. বীজগাণিতিক সংখ্যামালার কার্ড (পৃষ্ঠা ৪২): রঙিন কার্ডে বিভিন্ন ধরনের বীজগাণিতিক সংখ্যামালা দেখানো হয়েছে, যেমন $2x$ (একপদী), $5x+2y$ (দ্বিপদী), এবং $a+b-c$ (ত্রিপদী)।
2. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (পৃষ্ঠা ৪৩): অনেকগুলি আয়তক্ষেত্রাকার কার্ড দেখানো হয়েছে, যেখানে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা ক্ষেত্রফলকে বহুপদী সংখ্যামালা (Polynomial) দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে।
3. বহুপদী সংখ্যামালার গুণ (পৃষ্ঠা ৪৪): একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের মাধ্যমে দুটি বহুপদী সংখ্যামালার (যেমন, $(3x^2 - x + 12)$ এবং $(12x + 5)$) গুণফল কীভাবে নির্ণয় করতে হয়, তা দেখানো হয়েছে।
4. বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ (পৃষ্ঠা ৪৬-৪৭): ক্ষেত্রফল (ভাজ্য) এবং একটি বাহু (ভাজক) জানা থাকলে অন্য বাহু (ভাগফল) কীভাবে বের করতে হয়, সেই ধারণার মাধ্যমে বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ, বিশেষ করে 'লং ডিভিশন' (Long Division) পদ্ধতি দেখানো হয়েছে।
5. ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষ (পৃষ্ঠা ৪৯): কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষের মধ্যে যে $ভাজ্য = (ভাজক \times ভাগফল) + ভাগশেষ$ সম্পর্কটি রয়েছে, তা উল্লেখ করা হয়েছে।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. বহুপদী সংখ্যামালার প্রকারভেদ (Types of Polynomials)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪২ অনুযায়ী) একটি বীজগাণিতিক সংখ্যামালায় পদের (term) সংখ্যা গণনা করতে হয়। ১টি পদ থাকলে = একপদী (Monomial) (যেমন: $3x^2$)। ২টি পদ থাকলে = দ্বিপদী (Binomial) (যেমন: $5x+2y$)। ৩টি পদ থাকলে = ত্রিপদী (Trinomial) (যেমন: $a+b-c$)।

   প্রশ্ন: $5x+2y$ কী ধরনের বীজগাণিতিক সংখ্যামালা?

   (a) একপদী সংখ্যামালা (b) দ্বিপদী সংখ্যামালা (c) ত্রিপদী সংখ্যামালা (d) ধ্রুবক (Constant)

   (সঠিক উত্তর: b)

2. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (বহুপদী সংখ্যামালা)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪৩, চিত্র i) আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ। প্রদত্ত দৈর্ঘ্য = $(12x+8)$ এবং প্রস্থ = $5y$। ক্ষেত্রফল = $(12x + 8) \times 5y$। বিচ্ছেদ নিয়ম (Distributive Law) অনুযায়ী, $5y$ দিয়ে $12x$ এবং $8$ উভয়কেই গুণ করতে হবে: $= (12x \times 5y) + (8 \times 5y) = 60xy + 40y$

   প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্ডের দৈর্ঘ্য $(12x+8)$ একক এবং প্রস্থ $5y$ একক হলে, তার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

   (a) $60xy + 8y$ (b) $12x + 40y$ (c) $60xy + 40y$ (d) $60x + 40y$

   (সঠিক উত্তর: c)

3. দুটি দ্বিপদী সংখ্যামালার গুণ

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪৩, চিত্র ii) ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = $(7 - 3x^2) \times (2 - x)$। বিচ্ছেদ নিয়ম ব্যবহার করে: $= 7 \times (2 - x) - 3x^2 \times (2 - x) = (7 \times 2) - (7 \times x) - (3x^2 \times 2) - (3x^2 \times -x) = 14 - 7x - 6x^2 + 3x^3$। সাজিয়ে লিখলে: $3x^3 - 6x^2 - 7x + 14$

   প্রশ্ন: $(7 - 3x^2)$ এবং $(2 - x)$-এর গুণফল কত?

   (a) $14 - 7x - 6x^2 + 3x^3$ (b) $14 + 7x - 6x^2 - 3x^3$ (c) $14 - 6x^2$ (d) $9 - 3x^2 - x$

   (সঠিক উত্তর: a)

4. বহুপদী সংখ্যামালার গুণ (ত্রিপদী $\times$ দ্বিপদী)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪৪ অনুযায়ী) $(3x^2 - x + 12)$ কে $(12x + 5)$ দিয়ে গুণ করতে হলে, প্রথম রাশির প্রতিটি পদ দিয়ে দ্বিতীয় রাশিকে গুণ করতে হয়: $= 3x^2(12x + 5) - x(12x + 5) + 12(12x + 5) = (36x^3 + 15x^2) - (12x^2 + 5x) + (144x + 60) = 36x^3 + 15x^2 - 12x^2 - 5x + 144x + 60$। একই ঘাতের পদগুলিকে যোগ বা বিয়োগ করলে: $= 36x^3 + (15-12)x^2 + (-5+144)x + 60 = 36x^3 + 3x^2 + 139x + 60$

   প্রশ্ন: $(3x^2 - x + 12)$ এবং $(12x + 5)$-এর গুণফলে $x^2$-এর সহগ (coefficient) কত হবে?

   (a) $36$ (b) $15$ (c) $3$ (d) $139$

   (সঠিক উত্তর: c)

5. বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ (উৎপাদকের সাহায্যে)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪৬ অনুযায়ী) যদি ক্ষেত্রফল = $(x^2 - 9x + 18)$ এবং প্রস্থ = $(x - 3)$ হয়, তবে দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল $\div$ প্রস্থ। আমরা ভাজ্য $(x^2 - 9x + 18)$-কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factorize) করতে পারি: $x^2 - 6x - 3x + 18 = x(x - 6) - 3(x - 6) = (x - 3)(x - 6)$। সুতরাং, ভাগফল = $\frac{(x - 3)(x - 6)}{(x - 3)} = (x - 6)$

   প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(x^2 - 9x + 18)$ বর্গ একক এবং প্রস্থ $(x - 3)$ একক হলে, দৈর্ঘ্য কত একক?

   (a) $x - 6$ (b) $x + 6$ (c) $x - 3$ (d) $x + 3$

   (সঠিক উত্তর: a)

6. বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ (সাজানো)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪৭ অনুযায়ী) কোনো বহুপদী সংখ্যামালাকে ভাগ করার আগে, ভাজ্য (Dividend) এবং ভাজক (Divisor) উভয়কেই চলের (variable) ঘাতের নিম্নক্রমে (descending order of power) সাজিয়ে নিতে হয়। $4 + 17x - 15x^2$ কে সাজালে হয় $-15x^2 + 17x + 4$। $1 + 5x$ কে সাজালে হয় $5x + 1$।

   প্রশ্ন: $(4 + 17x - 15x^2)$ কে $(1 + 5x)$ দিয়ে ভাগ করার জন্য সঠিক সজ্জা কোনটি?

   (a) $(15x^2 + 17x + 4) \div (5x + 1)$ (b) $(15x^2 - 17x - 4) \div (5x - 1)$ (c) $(-15x^2 + 17x + 4) \div (5x + 1)$ (d) $(4 + 17x - 15x^2) \div (1 + 5x)$ (সরাসরি)

   (সঠিক উত্তর: c)

7. বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ (ভাগশেষ নির্ণয়)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪৮, নীল কার্ড) $(12x^4 + 5x^3 - 33x^2 - 3x + 16)$ কে $(4x^2 - x - 5)$ দিয়ে 'লং ডিভিশন' পদ্ধতিতে ভাগ করলে, ধাপে ধাপে ভাগ করার পর শেষে $(3x - 4)$ অবশিষ্ট থাকে। এটিই হলো ভাগশেষ (Remainder)।

   প্রশ্ন: পৃষ্ঠা ৪৮-এর নীল কার্ডের ভাগ অঙ্কে, $(12x^4 + 5x^3 - 33x^2 - 3x + 16) \div (4x^2 - x - 5)$ করলে ভাগশেষ (remainder) কত হবে?

   (a) $3x + 4$ (b) $3x - 4$ (c) $3x^2 + 2x - 4$ (d) $0$

   (সঠিক উত্তর: b)

8. ভাগের সম্পর্ক (ভাজ্য নির্ণয়)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪৯, প্রশ্ন ৬ ও ৭) আমরা জানি, ভাগের মূল সূত্রটি হলো: ভাজ্য = (ভাজক $\times$ ভাগফল) + ভাগশেষ (Dividend = (Divisor $\times$ Quotient) + Remainder)

   প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কে ভাজ্য (Dividend), ভাজক (Divisor), ভাগফল (Quotient) ও ভাগশেষ (Remainder)-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক কোনটি?

   (a) ভাজ্য = (ভাজক $\times$ ভাগফল) + ভাগশেষ (b) ভাজক = (ভাজ্য $\times$ ভাগফল) + ভাগশেষ (c) ভাগফল = (ভাজক $\times$ ভাজ্য) + ভাগশেষ (d) ভাগশেষ = (ভাজক $\times$ ভাগফল) + ভাজ্য

   (সঠিক উত্তর: a)