গণিত অনলাইন পরীক্ষা (অধ্যায় ৩)

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ৩: মূলদ সংখ্যার ধারণা (Concept of Rational Numbers)

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ৩১-৪১ থেকে)

1. সমীকরণ ও সংখ্যার প্রকারভেদ (পৃষ্ঠা ৩১): একটি বাসের যাত্রীর সংখ্যার উদাহরণের মাধ্যমে দেখানো হয়েছে কীভাবে বিভিন্ন সরল সমীকরণের সমাধান (বীজ) করলে স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural), অখণ্ড সংখ্যা (Whole), এবং পূর্ণসংখ্যা (Integer) পাওয়া যায়।
2. মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা (পৃষ্ঠা ৩২): $2x + 15 = 32$ সমীকরণের সমাধান $x = \frac{17}{2}$ -এর মাধ্যমে 'মূলদ সংখ্যা' (Rational Number)-এর ধারণা দেওয়া হয়েছে। মূলদ সংখ্যা হলো $\frac{p}{q}$ আকার, যেখানে $p, q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।
3. মূলদ সংখ্যার ধর্ম (পৃষ্ঠা ৩৩): কার্ডের উদাহরণের মাধ্যমে দুটি মূলদ সংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ (শূন্য বাদে) করলে যে সর্বদা একটি মূলদ সংখ্যাই পাওয়া যায় (Closure Property), তা দেখানো হয়েছে।
4. বিনিময় ও সংযোগ নিয়ম (পৃষ্ঠা ৩৫-৩৬): সারণির মাধ্যমে দেখানো হয়েছে যে, মূলদ সংখ্যার যোগ ও গুণ 'বিনিময় নিয়ম' (Commutative) ও 'সংযোগ নিয়ম' (Associative) মেনে চলে, কিন্তু বিয়োগ ও ভাগ মেনে চলে না।
5. বিপরীত সংখ্যার ধারণা (পৃষ্ঠা ৩৮): একটি কার্ডে $\frac{3}{7}$-এর উদাহরণের মাধ্যমে 'যোগের বিপরীত' (Additive Inverse) অর্থাৎ $-\frac{3}{7}$ এবং 'অন্যোন্যক' (Multiplicative Inverse) অর্থাৎ $\frac{7}{3}$-এর ধারণা দেওয়া হয়েছে।
6. সংখ্যারেখা (পৃষ্ঠা ৩৯-৪০): প্রথমে পূর্ণসংখ্যার সংখ্যারেখা এবং পরে $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$ ইত্যাদি মূলদ সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় কীভাবে স্থাপন করতে হয় তা দেখানো হয়েছে।
7. মূলদ সংখ্যার ঘনত্ব (পৃষ্ঠা ৪০): $\frac{2}{5}$ ও $\frac{4}{5}$-এর মধ্যে যে অসংখ্য (Infinitely many) মূলদ সংখ্যা আছে, তা ভগ্নাংশের হর পরিবর্তন করে (যেমন, $\frac{4}{10}$ ও $\frac{8}{10}$) দেখানো হয়েছে।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩২ অনুযায়ী) একটি সংখ্যাকে 'মূলদ সংখ্যা' (Rational Number) বলা হয় যদি সেটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ উভয়ই পূর্ণসংখ্যা (Integer) এবং $q$ (হর) শূন্য ($0$) হতে পারে না। যেমন: $\frac{17}{2}$, $\frac{-8}{3}$, $17$ (কারণ $17 = \frac{17}{1}$), $0$ (কারণ $0 = \frac{0}{1}$)।

   প্রশ্ন: নীচের কোনটি মূলদ সংখ্যার সঠিক সংজ্ঞা?

   (a) $\frac{p}{q}$ আকার, যেখানে $q = 0$ (b) $\frac{p}{q}$ আকার, যেখানে $p$ ও $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$ (c) $\frac{p}{q}$ আকার, যেখানে $p$ ও $q$ স্বাভাবিক সংখ্যা (d) শুধুমাত্র অখণ্ড সংখ্যা

   (সঠিক উত্তর: b)

2. সমীকরণের মূলদ বীজ (সমাধান)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩২ অনুযায়ী) $3x + 40 = 32$ সমীকরণটির সমাধান করতে, প্রথমে $x$ যুক্ত পদটিকে আলাদা করতে হবে। $3x = 32 - 40 \Rightarrow 3x = -8$। এবার $x$-এর মান বের করতে উভয় পক্ষকে $3$ দিয়ে ভাগ করতে হবে। $x = \frac{-8}{3}$। এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

   প্রশ্ন: $3x + 40 = 32$ সমীকরণটির বীজ (সমাধান) কত?

   (a) $x = \frac{8}{3}$ (b) $x = \frac{-8}{3}$ (c) $x = \frac{72}{3}$ (d) $x = -8$

   (সঠিক উত্তর: b)

3. মূলদ সংখ্যার ধর্ম (Closure Property)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩৩ অনুযায়ী) দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ, বিয়োগ বা গুণ করলে ফলাফল সর্বদা একটি মূলদ সংখ্যাই হয়। দুটি মূলদ সংখ্যা (যেখানে ভাজক শূন্য নয়) ভাগ করলেও ভাগফল সর্বদা একটি মূলদ সংখ্যা হয়।

   প্রশ্ন: দুটি মূলদ সংখ্যার (শূন্য বাদে) ভাগফল সর্বদা কী হয়?

   (a) একটি পূর্ণসংখ্যা (b) একটি মূলদ সংখ্যা (c) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (d) অসংজ্ঞাত (Undefined)

   (সঠিক উত্তর: b)

4. একসম উপাদান (Identity Elements)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩৪ অনুযায়ী) 'যোগের একসম উপাদান' (Additive Identity) হলো $0$, কারণ $a + 0 = a$। 'গুণের একসম উপাদান' (Multiplicative Identity) হলো $1$, কারণ $a \times 1 = a$।

   প্রশ্ন: মূলদ সংখ্যার যোগের ক্ষেত্রে 'একসম উপাদান' (Additive Identity) কোনটি?

   (a) $1$ (b) $0$ (c) $-1$ (d) $\frac{p}{q}$

   (সঠিক উত্তর: b)

5. বিনিময় নিয়ম (Commutative Property)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩৫ অনুযায়ী) 'বিনিময় নিয়ম' (Commutative Property) পরীক্ষা করে দেখে যে, দুটি সংখ্যার ক্রম পরিবর্তন করলে ফলাফল একই থাকে কিনা। যোগ: $a + b = b + a$ (মেনে চলে)। গুণ: $a \times b = b \times a$ (মেনে চলে)। বিয়োগ: $a - b \neq b - a$ (মেনে চলে না)।

   প্রশ্ন: মূলদ সংখ্যার কোন গাণিতিক প্রক্রিয়াটি 'বিনিময় নিয়ম' (Commutative Property) মেনে চলে না?

   (a) যোগ (Addition) (b) গুণ (Multiplication) (c) বিয়োগ (Subtraction) (d) (a) এবং (b) উভয়ই

   (সঠিক উত্তর: c)

6. সংযোগ নিয়ম (Associative Property)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩৬ অনুযায়ী) 'সংযোগ নিয়ম' (Associative Property) পরীক্ষা করে দেখে যে, তিনটি সংখ্যার বিভিন্ন গোষ্ঠী (grouping) করে গণনা করলে ফলাফল একই থাকে কিনা। যোগ: $a + (b + c) = (a + b) + c$ (মেনে চলে)। গুণ: $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ (মেনে চলে)। বিয়োগ: $a - (b - c) \neq (a - b) - c$ (মেনে চলে না)।

   প্রশ্ন: নীচের কোনটি মূলদ সংখ্যার 'সংযোগ নিয়ম' (Associative Property) সঠিকভাবে দেখায়?

   (a) $a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$ (b) $a - (b - c) = (a - b) - c$ (c) $a \div (b \div c) = (a \div b) \div c$ (d) $a - b = b - a$

   (সঠিক উত্তর: a)

7. যোগের বিপরীত (Additive Inverse)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩৮ অনুযায়ী) কোনো সংখ্যা $a$-এর 'যোগের বিপরীত' (Additive Inverse) হলো সেই সংখ্যা, যাকে $a$-এর সাথে যোগ করলে যোগফল $0$ (যোগের একসম উপাদান) হয়। $\frac{3}{7}$-এর যোগের বিপরীত হলো $-\frac{3}{7}$, কারণ $\frac{3}{7} + (-\frac{3}{7}) = 0$।

   প্রশ্ন: $\frac{3}{7}$-এর 'যোগের বিপরীত' (Additive Inverse) সংখ্যাটি কত?

   (a) $\frac{7}{3}$ (b) $-\frac{3}{7}$ (c) $0$ (d) $1$

   (সঠিক উত্তর: b)

8. অন্যোন্যক (Multiplicative Inverse)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩৮ অনুযায়ী) কোনো অশূন্য সংখ্যা $a$-এর 'অন্যোন্যক' (Multiplicative Inverse) হলো সেই সংখ্যা, যাকে $a$-এর সাথে গুণ করলে গুণফল $1$ (গুণের একসম উপাদান) হয়। $\frac{9}{13}$-এর অন্যোন্যক হলো $\frac{13}{9}$, কারণ $\frac{9}{13} \times \frac{13}{9} = 1$।

   প্রশ্ন: $\frac{9}{13}$-এর 'অন্যোন্যক' (Multiplicative Inverse) কত?

   (a) $-\frac{9}{13}$ (b) $\frac{13}{9}$ (c) $1$ (d) $0$

   (সঠিক উত্তর: b)

9. বিচ্ছেদ নিয়ম (Distributive Property)

   কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৩৮ অনুযায়ী) 'বিচ্ছেদ নিয়ম' (Distributive Property) গুণ এবং যোগকে সংযুক্ত করে। এই নিয়ম অনুযায়ী, $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$।

   প্রশ্ন: $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ – এই নিয়মটিকে কী বলা হয়?

   (a) সংযোগ নিয়ম (b) বিনিময় নিয়ম (c) বিচ্ছেদ নিয়ম (d) অন্যোন্যক নিয়ম

   (সঠিক উত্তর: c)

10. মূলদ সংখ্যার ঘনত্ব (Density Property)

    কীভাবে সমাধান করবে: (পৃষ্ঠা ৪০ অনুযায়ী) দুটি ভিন্ন মূলদ সংখ্যার মধ্যে সর্বদা আরও একটি মূলদ সংখ্যা খুঁজে পাওয়া সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, $\frac{2}{5}$ (যা $\frac{4}{10}$) এবং $\frac{4}{5}$ (যা $\frac{8}{10}$)-এর মধ্যে $\frac{5}{10}$, $\frac{6}{10}$, $\frac{7}{10}$ ইত্যাদি রয়েছে। এই প্রক্রিয়াটি অসীমভাবে চলতে পারে, তাই দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে 'অসংখ্য' (Infinitely many) মূলদ সংখ্যা থাকে।

    প্রশ্ন: দুটি আলাদা মূলদ সংখ্যার মধ্যে কতগুলি মূলদ সংখ্যা থাকে?

    (a) একটিও না (b) শুধুমাত্র একটি (c) নির্দিষ্ট সংখ্যক (e.g., ১০টি) (d) অসংখ্য

    (সঠিক উত্তর: d)