গণিত অনলাইন পরীক্ষা

স্টাডি গাইডের নাম

অধ্যায় ১ পর্যালোচনা: ক্ষেত্রফল (Area) এবং প্রাথমিক বীজগাণিত (Basic Algebra)

মূল চিত্র পরিচিতি (পৃষ্ঠা ১-২১ থেকে)

1. ঘরের ক্ষেত্রফল গণনা (পৃষ্ঠা ১১): কর্মীদের একটি ঘরের দেয়াল প্লাস্টার করা এবং দরজা রঙ করার চিত্র, যা একটি ঘরের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল গণনার প্রতিনিধিত্ব করে।
2. মাঠের ভেতরের রাস্তা (পৃষ্ঠা ১২): একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের (৪০মি × ২০মি) ভেতরের সীমানা বরাবর ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তার (রাস্তা) মূল চিত্র।
3. ছেদকারী রাস্তা (পৃষ্ঠা ১৩): একটি আয়তক্ষেত্রের (২৮সেমি × ১৮সেমি) ঠিক মাঝখান দিয়ে অতিক্রান্ত দুটি রাস্তার (৪সেমি চওড়া) চিত্র (তিতলির আঁকা), যা আয়তক্ষেত্রটিকে চারটি ছোট সমান সবুজ অংশে বিভক্ত করেছে।
4. ছক কাগজের ক্ষেত্রফল (পৃষ্ঠা ১৫): একটি ছক কাগজ (ছক কাগজ) যেখানে আটটি বিভিন্ন অনিয়মিত আকার দেখানো হয়েছে, যা বর্গক্ষেত্র গণনা করে ক্ষেত্রফল অনুমান করার অনুশীলন করতে ব্যবহৃত হয়।
5. দেশলাই কাঠির সজ্জা (পৃষ্ঠা ১৭ ও ২১): দেশলাই কাঠি (দেশলাই কাঠি) দিয়ে তৈরি বিভিন্ন সজ্জার চিত্র, যা দেখায় কীভাবে বীজগাণিতিক ক্রম (যেমন ৩, ৫, ৭... বা ৫, ৮, ১১...) গঠিত হয়।

সমাধান সহ বহুনির্বাচনী প্রশ্ন (MCQs)

প্রতিটি বিষয়ের সমাধান পদ্ধতি নিচে ব্যাখ্যা করা হলো এবং তার পরে একটি প্রশ্ন দেওয়া হলো।

1. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

   কীভাবে সমাধান করবে: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (area) তার দৈর্ঘ্য (length) এবং প্রস্থ (width) গুণ করে পাওয়া যায়।

   সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।

   প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (ক্ষেত্রফল) নির্ণয়ের সূত্রটি কী?

   (a) দৈর্ঘ্য + প্রস্থ (b) ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) (c) দৈর্ঘ্য × প্রস্থ (d) দৈর্ঘ্য ÷ প্রস্থ

   (সঠিক উত্তর: c)

2. মেঝের ক্ষেত্রফল এবং খরচ গণনা

   কীভাবে সমাধান করবে: প্রথমে, ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। মেঝের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৫ মি × ৪ মি = ২০ বর্গমিটার। প্রতি বর্গমিটারে খরচ হয় ৫৫ টাকা। সুতরাং, মোট খরচ = মোট ক্ষেত্রফল × প্রতি বর্গমিটারের খরচ = (৫ × ৪) × ৫৫ টাকা = ২০ × ৫৫ = ১১০০ টাকা।

   প্রশ্ন: একটি ঘরের মেঝে ৫ মি × ৪ মি। প্রতি বর্গমিটারে ৫৫ টাকা হিসাবে সিমেন্ট করতে মোট কত খরচ পড়বে?

   (a) (৫ + ৪) × ৫৫ টাকা (b) (৫ × ৪) × ৫৫ টাকা (c) (৫৫ ÷ (৫ × ৪)) টাকা (d) (৫ × ৪) + ৫৫ টাকা

   (সঠিক উত্তর: b)

3. রাস্তার ভেতরের দৈর্ঘ্য

   কীভাবে সমাধান করবে: মাঠের মোট দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার। রাস্তাটি ভেতরের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া। এর মানে হলো, ভেতরের আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য দুই দিক (বাম এবং ডান) থেকেই ৩ মিটার করে কমে যাবে। সুতরাং, ভেতরের দৈর্ঘ্য = মোট দৈর্ঘ্য - (২ × রাস্তার প্রস্থ) = ৪০ মি - (২ × ৩ মি) = ৪০ মি - ৬ মি = ৩৪ মিটার।

   প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ২০ মিটার। ওই মাঠের ভেতরের চারদিকে ৩ মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে ভেতরের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য কত?

   (a) ৪০ - ৩ = ৩৭ মিটার (b) ৪০ + ৩ = ৪৩ মিটার (c) ৪০ - (২ × ৩) = ৩৪ মিটার (d) (৪০ × ৩) মিটার

   (সঠিক উত্তর: c)

4. রাস্তার ভেতরের প্রস্থ

   কীভাবে সমাধান করবে: মাঠের মোট প্রস্থ ২০ মিটার। একইভাবে, ভেতরের আয়তক্ষেত্রের প্রস্থও দুই দিক (উপর এবং নিচ) থেকেই ৩ মিটার করে কমে যাবে। সুতরাং, ভেতরের প্রস্থ = মোট প্রস্থ - (২ × রাস্তার প্রস্থ) = ২০ মি - (২ × ৩ মি) = ২০ মি - ৬ মি = ১৪ মিটার।

   প্রশ্ন: আগের প্রশ্ন (প্রশ্ন ৩) অনুযায়ী, রাস্তা বাদে ভেতরের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের প্রস্থ কত?

   (a) ২০ - (২ × ৩) = ১৪ মিটার (b) ২০ - ৩ = ১৭ মিটার (c) ২০ + (২ × ৩) = ২৬ মিটার (d) (২০ × ৩) মিটার

   (সঠিক উত্তর: a)

5. রাস্তার ক্ষেত্রফল গণনা

   কীভাবে সমাধান করবে: রাস্তার ক্ষেত্রফল বের করার জন্য, প্রথমে পুরো মাঠের (রাস্তা সহ) ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। তারপর, শুধু ভেতরের মাঠের (রাস্তা বাদে) ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। রাস্তার ক্ষেত্রফল = (পুরো মাঠের ক্ষেত্রফল) - (ভেতরের মাঠের ক্ষেত্রফল)।

   প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ভেতরের রাস্তার ক্ষেত্রফল কীভাবে গণনা করা হয়?

   (a) (ভেতরের মাঠের ক্ষেত্রফল) - (পুরো মাঠের ক্ষেত্রফল) (b) (পুরো মাঠের ক্ষেত্রফল) + (ভেতরের মাঠের ক্ষেত্রফল) (c) (পুরো মাঠের ক্ষেত্রফল) × (ভেতরের মাঠের ক্ষেত্রফল) (d) (পুরো মাঠের ক্ষেত্রফল) - (ভেতরের মাঠের ক্ষেত্রফল)

   (সঠিক উত্তর: d)

6. ছেদকারী রাস্তার গণনা

   কীভাবে সমাধান করবে: কাগজটির মোট দৈর্ঘ্য ২৮ সেমি। মাঝখান দিয়ে ৪ সেমি চওড়া একটি রাস্তা গেছে। এই রাস্তাটি দৈর্ঘ্যকে দুটি সমান ভাগে ভাগ করেছে। প্রথমে রাস্তা বাদে মোট দৈর্ঘ্য বের করি: ২৮ - ৪ = ২৪ সেমি। এই ২৪ সেমি দুটি সমান দৈর্ঘ্যের সবুজ আয়তক্ষেত্রের জন্য ভাগ হয়ে যায়। সুতরাং, একটি সবুজ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (২৮ - ৪) ÷ ২ = ২৪ ÷ ২ = ১২ সেমি।

   প্রশ্ন: তিতলির আঁকা ২৮ সেমি × ১৮ সেমি কাগজের মাঝখান দিয়ে ৪ সেমি চওড়া দুটি রাস্তা গেছে। এর ফলে তৈরি হওয়া চারটি সবুজ আয়তক্ষেত্রের মধ্যে একটির দৈর্ঘ্য কত?

   (a) (২৮ - ৪) ÷ ২ = ১২ সেমি (b) (২৮ + ৪) ÷ ২ = ১৬ সেমি (c) ২৮ - ৪ = ২৪ সেমি (d) ২৮ ÷ ৪ = ৭ সেমি

   (সঠিক উত্তর: a)

7. ছক কাগজে ক্ষেত্রফল নির্ণয়

   কীভাবে সমাধান করবে: ছক কাগজে কোনো অনিয়মিত আকারের ক্ষেত্রফল মাপার জন্য, আমরা প্রথমে সম্পূর্ণ ঘর (পূর্ণ বর্গক্ষেত্র), অর্ধেকের বেশি ঘর, এবং অর্ধেক ঘর গণনা করি। অর্ধেকের কম ঘরগুলো সাধারণত বাদ দেওয়া হয়। আনুমানিক ক্ষেত্রফল = (সম্পূর্ণ ঘরের সংখ্যা) + (অর্ধেকের বেশি ঘরের সংখ্যা) + (০.৫ × অর্ধেক ঘরের সংখ্যা)।

   প্রশ্ন: ছক কাগজের সাহায্যে কোনো অনিয়মিত আকারের ক্ষেত্রফল কীভাবে নির্ণয় করা হয়?

   (a) শুধুমাত্র সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্র গণনা করে (b) সম্পূর্ণ, অর্ধেকের বেশি, এবং অর্ধেক বর্গক্ষেত্র গণনা করে ও যোগ করে (c) শুধুমাত্র বাইরের সীমানা গণনা করে (d) শুধুমাত্র অর্ধেকের কম ঘর গণনা করে

   (সঠিক উত্তর: b)

8. ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন (দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ)

   কীভাবে সমাধান করবে: কাগজের আসল ক্ষেত্রফল = ১৫ সেমি × ৮ সেমি = ১২০ বর্গসেমি। এখন, দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলো: নতুন দৈর্ঘ্য = ১৫ × ২ = ৩০ সেমি। প্রস্থ একই থাকে (৮ সেমি)। নতুন ক্ষেত্রফল = নতুন দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ৩০ সেমি × ৮ সেমি = ২৪০ বর্গসেমি। (লক্ষ্য কর, ক্ষেত্রফলও দ্বিগুণ হয়ে গেছে)।

   প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজের দৈর্ঘ্য ১৫ সেমি এবং প্রস্থ ৮ সেমি। যদি দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হয় এবং প্রস্থ একই থাকে, তবে নতুন ক্ষেত্রফল কত হবে?

   (a) ১২০ বর্গসেমি (b) ১৫০ বর্গসেমি (c) ২৪০ বর্গসেমি (d) ১৬০ বর্গসেমি

   (সঠিক উত্তর: c)

9. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন

   কীভাবে সমাধান করবে: ধরা যাক, বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু 'a'। এর ক্ষেত্রফল = $a^{2}$। যদি বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হয়, নতুন বাহু = $2a$। নতুন ক্ষেত্রফল = $(2a)^{2} = (2a) \times (2a) = 4a^{2}$। সুতরাং, ক্ষেত্রফল $a^{2}$ থেকে $4a^{2}$ হয়ে যায়, অর্থাৎ ৪ গুণ বৃদ্ধি পায়।

   প্রশ্ন: যদি একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

   (a) ২ গুণ (b) ৪ গুণ (c) ৬ গুণ (d) ৮ গুণ

   (সঠিক উত্তর: b)

10. দেশলাই কাঠির সজ্জা (Pattern)

    কীভাবে সমাধান করবে: প্রথম সজ্জায় (pattern) কাঠি লাগে ৫টি। দ্বিতীয় সজ্জায় কাঠি লাগে ৮টি। পার্থক্য = ৮ - ৫ = ৩টি। এটি একটি সমান্তর প্রগতি (arithmetic progression)। এর অর্থ, প্রতিটি নতুন সজ্জায় ৩টি করে কাঠি যোগ হচ্ছে। সুতরাং, তৃতীয় সজ্জায় কাঠি লাগবে = ৮ + ৩ = ১১টি।

    প্রশ্ন: প্রথম দেশলাই কাঠির সজ্জায় (আমি সাজালাম) প্রথমটিতে ৫টি এবং দ্বিতীয়টিতে ৮টি কাঠি আছে। ওই সজ্জার তৃতীয়টিতে কতগুলি কাঠি থাকবে?

    (a) ৯টি (b) ১০টি (c) ১১টি (d) ১২টি

    (সঠিক উত্তর: c)

11. বীজগাণিতিক সংখ্যামালার দৃশ্যমান রূপ

    কীভাবে সমাধান করবে: $2x^{2} + 4x - 3$ রাশিটিকে বুঝতে হবে: $2x^{2}$ মানে ২টি $x^{2}$ কার্ড (২টি নীল বর্গক্ষেত্র)। $+4x$ মানে ৪টি $x$ কার্ড (৪টি নীল আয়তক্ষেত্র)। $-3$ মানে ৩টি $-1$ কার্ড (৩টি ছোট লাল বর্গক্ষেত্র)। সুতরাং, এটি প্রকাশ করতে ২টি নীল বর্গক্ষেত্র, ৪টি নীল আয়তক্ষেত্র এবং ৩টি লাল বর্গক্ষেত্র লাগবে।

    প্রশ্ন: যদি একটি নীল বর্গক্ষেত্র $x^{2}$ হয়, নীল আয়তক্ষেত্র $x$ হয় এবং লাল বর্গক্ষেত্র -1 হয়, তবে $2x^{2} + 4x - 3$ প্রকাশ করতে কী কী লাগবে?

    (a) ২টি নীল বর্গক্ষেত্র, ৪টি নীল আয়তক্ষেত্র, ৩টি লাল বর্গক্ষেত্র (b) ২টি নীল বর্গক্ষেত্র, ৩টি নীল আয়তক্ষেত্র, ৪টি লাল বর্গক্ষেত্র (c) ২টি লাল বর্গক্ষেত্র, ৪টি নীল আয়তক্ষেত্র, ৩টি নীল বর্গক্ষেত্র (d) ২টি নীল বর্গক্ষেত্র, ৪টি লাল আয়তক্ষেত্র, ৩টি লাল বর্গক্ষেত্র

    (সঠিক উত্তর: a)

12. বহুপদী সংখ্যামালার গুণ

    কীভাবে সমাধান করবে: ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = $(2x + 4) \times (x - 5)$। আমরা বিচ্ছেদ নিয়ম (distributive law) ব্যবহার করে গুণ করব: $2x(x - 5) + 4(x - 5)$ $= (2x \times x) - (2x \times 5) + (4 \times x) - (4 \times 5)$ $= 2x^{2} - 10x + 4x - 20$ একই পদের (like terms) যোগ-বিয়োগ করে পাই: $2x^{2} - 6x - 20$ বর্গমিটার।

    প্রশ্ন: একটি কার্ডের দৈর্ঘ্য $(2x+4)$ মিটার এবং প্রস্থ $(x-5)$ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত?

    (a) $2x^{2} + 6x - 20$ বর্গমিটার (b) $2x^{2} - 6x - 20$ বর্গমিটার (c) $2x^{2} - 14x - 20$ বর্গমিটার (d) $2x^{2} + 14x + 20$ বর্গমিটার

    (সঠিক উত্তর: b)

13. বহুপদী সংখ্যামালার ভাগ

    কীভাবে সমাধান করবে: আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ। সুতরাং, দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ। দৈর্ঘ্য = $(7a^{2}b - 35ab^{2} + 14abc) \div (7ab)$। ভাগ করার জন্য, আমরা ভাজ্যের (dividend) প্রতিটি পদকে ভাজক (divisor) $7ab$ দিয়ে আলাদাভাবে ভাগ করব: $(\frac{7a^{2}b}{7ab}) - (\frac{35ab^{2}}{7ab}) + (\frac{14abc}{7ab})$ $= a - 5b + 2c$

    প্রশ্ন: একটি কার্ডের ক্ষেত্রফল $(7a^{2}b - 35ab^{2} + 14abc)$ বর্গমিটার এবং প্রস্থ $7ab$ মিটার। এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য কোন গাণিতিক প্রক্রিয়াটি সঠিক?

    (a) $(7a^{2}b - 35ab^{2} + 14abc) \div (7ab)$ (b) $(7a^{2}b - 35ab^{2} + 14abc) \times (7ab)$ (c) $(7ab) \div (7a^{2}b - 35ab^{2} + 14abc)$ (d) $(7a^{2}b + 14abc) \div (7ab)$

    (সঠিক উত্তর: a)

14. বীজগাণিতিক অভেদ (Identity)

    কীভাবে সমাধান করবে: $9p^{2} - 4q^{2}$ রাশিটি দুটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার বিয়োগফল (difference of two squares) হিসাবে লেখা যেতে পারে। $9p^{2} = (3p)^{2}$ এবং $4q^{2} = (2q)^{2}$। সুতরাং, রাশিটি হলো $(3p)^{2} - (2q)^{2}$। এটি $a^{2} - b^{2}$ -এর সূত্রের সাথে মিলে যায়, যার উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো $(a + b)(a - b)$।

    প্রশ্ন: $9p^{2} - 4q^{2}$ রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে কোন বীজগাণিতিক অভেদটি (identity) ব্যবহৃত হয়?

    (a) $(a + b)^{2}$ (b) $(a - b)^{2}$ (c) $a^{2} - b^{2}$ (d) $(a + b + c)^{2}$

    (সঠিক উত্তর: c)

15. ত্রিভুজের পরিসীমা

    কীভাবে সমাধান করবে: সমবাহু ত্রিভুজের (equilateral triangle) তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান। পরিসীমা (Perimeter) হলো তিনটি বাহুর মোট দৈর্ঘ্য। পরিসীমা = ৩ × (একটি বাহুর দৈর্ঘ্য) = ৩ × $(4y + 2)$ সেমি = $(৩ \times 4y) + (৩ \times 2)$ = $12y + 6$ সেমি।

    প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $(4y+2)$ সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা (perimeter) কত?

    (a) $4y + 6$ সেমি (b) $12y + 2$ সেমি (c) $12y + 6$ সেমি (d) $8y + 4$ সেমি

    (সঠিক উত্তর: c)